測定値の統計的処理

• 平均と分散

  ある値の集合を「母集団」とし，そこから無作為抽出された$n$個の値（「標本」）が，
  

  $$x_1, x_2, \cdots, x_n$$
  
  
  であるとき，
  
  $$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$$
  
  
  を標本平均，
  
  $$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$$
  
  
  を標本分散と呼ぶ．

  実際の標本抽出では標本平均を用いて分散を求める場合，自由度が１減っている ので次に示す「不偏分散」を分散として用いる．
  

  $$u^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2$$
  
  

• 統計的仮説検定

  少ないサンプル数で母集団の統計量を議論するために，「統計的仮説検定」が用 いられる．これは，標本値から母集団のある統計量を推定した場合，そ れが正しいと言う仮説を否定する際にどの程度の危険度が伴うかを判断 するものであり，$t$分布を用いて，行う場合を$t$検定と呼ぶ．

  本日は配布した資料にしたがって，先週の小テストの３年生と過年度生の平均値 の違いについて$t$検定を行った．結論としては，求めた$t$値は棄却域 に入っておらず，「両者の平均値が等しい という仮説（帰無仮説）を否定する危険率は5%以上」となり，平均値の 差は「有意ではない」（偶然発生した可能性が否定できない）というこ とになった．

  追加の例題としてプリントを配布した．提出は次週の講義開始時．