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2006.6.5

電磁気計測　中間テストと解答例　2006.6.5

1. 統計的仮説検定に関する以下の問いに答えよ．
   1. 表1に示すようにAとBという測定値の二つの集合がある．このとき，AとB の平均値をそれぞれ求めよ．

      Aの平均値，12.8

      Bの平均値，11.9

   2. AとBの測定値の分散を求めよ．

      Aの分散，0.28

      Bの分散，0.11

      引き算を途中に含んでいるため，有効数字の桁落ちに注意．ここでは，一応２桁 取ってある．

   3. AとBの共分散および$t$値はそれぞれ0.24および2.96となる．問い(1)で 求めたAとBの平均値の差を表2に示す$t$分布表を用いて$t$検定により議 論せよ．

      今の場合，自由度は8であり，$t$値は危険率0.02の値2.90よりも大きいため，両 者の平均値の差に違いがあるという仮説を否定する危険率は2%以下であ る．よって，有意水準98%で両者の平均値の差が有意であると結論できる．

   
   
   

   表１　両グループの測定値

   表２　$t$分布表

   A	B
   12.2	11.5
   13.5	12.1
   13.1	11.9
   12.8	11.6
   12.4	12.3

   自由度	0.10	0.05	0.02	0.01
   6	1.94	2.45	3.14	3.71
   7	1.89	2.36	3.00	3.50
   8	1.86	2.31	2.90	3.36
   9	1.83	2.26	2.82	3.25
   10	1.81	2.23	2.76	3.17

   
   
   

2. 巻線抵抗器を交流回路で使用する場合について，以下の問いに答えよ．
   1. 等価回路を描け．

      

   2. 巻線抵抗器の周波数依存性を低減するためには本来の$R$以外に付随する 寄生素子の値をどのようになるようにすれば良いか，等価回路のインピー ダンスから議論せよ．

      
       http://www.ecs.shimane-u.ac.jp/~nawate/lecture/mag06/05-08/node6.html
      
      

      にあるように等価回路のインピーダンスは計算できるので，周波数を含む項が0 になるように寄生素子の値を選択して行けば良い．今の場合，$L=RC^2$ となる．

   
   
   

3. 図1に示す電圧波形の平均値および実効値を求めよ．

   
   図1　電圧波形

   【平均値】

   平均値は
   

   $$\overline{v} = \frac{1}{T} \int_0^{T}\left\vert v(t)\right\vert dt = \frac{2}{T} \int_0^{\frac{T}{2}} v(t) dt$$
   
   
   として，計算される．ところで，図１の電圧波形は直線だけからなるので，積分 の部分は面積を求める作業と等しいので，以下のように簡単に求められ る．
   
   $$S = \frac{1}{2} \frac{T}{8} V_0 + \frac{T}{4} V_0 + \frac{1}{2} \frac{T}{8} V_0 = \frac{3}{8} V_0 T$$
   
   
   上の値を$T/2$で割れば良いので，平均値は $\frac{3}{4}V_0$となる．

   【実効値】

   実効値は
   

   $$v_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v(t)^2 dt}$$
   
   
   で与えられる．図１の波形の場合， $0\rightarrow\frac{T}{8}$と $\frac{3T}{8}\rightarrow \frac{T}{2}$の間の部分の$v^2$面積は等し い．また，半周期分の面積を計算すれば一周期分はその２倍であるので， 以下のように簡単化して$v^2$と$t$軸で囲まれる面積を計算できる．
   $$\begin{eqnarray*} \frac{S}{2} & = & 2 \int_0^{\frac{T}{8}} \left(\frac{8V_0}{T}... ...ac{V_0^2}{12} T + V_0^2 \frac{T}{4}\\ & = & \frac{1}{3}V_0^2 T \end{eqnarray*}$$
   
   
   よって，実効値は以下のように求められる．
   
   $$v_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \frac{2}{3}V_0^2 T} = \sqrt{\frac{2}{3}}V_0$$
   
   

   
   
   

4. 図2に示す容量形電圧変成器の分圧比$V_1/V_2$を求めよ．

   
   
   
   
   
   図2　容量形電圧変成器の構成

    
   http://www.ecs.shimane-u.ac.jp/~nawate/lecture/mag06/05-29/node5.html
   
   

   にある計器用変成器の部分を参照のこと．